XALQARO MATEMATIKA OLIMPIADALARI MASALALARI
А.А.Аzamov, А.Sh.Kuchkarov, M.A.Bekimov 

I Xalqaro matematik olimpiada
1959 yil, Ruminiya, Brashov va Buxarest shaharlari

1.1. \(n\) ning ixtiyoriy natural qiymatida \(\frac{21n+4}{14n+3}\)  kasr qisqarmas bo’lishini isbotlang.

1.2. \(x\) ning qanday haqiqiy qiymatlarida quyidagi tengliklar o’rinli bo'lishini aniqlang:

       a) \(\sqrt{x+\sqrt{2x-1} } +\sqrt{x-\sqrt{2x-1} } =\sqrt{2};\)
       b) \(\sqrt{x+\sqrt{2x-1} } +\sqrt{x-\sqrt{2x-1} } =1;\)
       c) \(\sqrt{x+\sqrt{2x-1} } +\sqrt{x-\sqrt{2x-1} } =2.\)

1.3. Ildizlari \(a \cos^2{x}+b\cos{x}+c=0\)  tenglamaning ildizlari bilan bir xil bo’lgan \(\cos{2x}\) ga nisbatan kvadrat tenglama tuzing. Bu erda \(a, b, c\) - haqiqiy sonlar.

1.4. \(AB\) gipotenuzasiga tushirilgan \(CN\) medianasi \(CN^2=AC \cdot BC\) shartni qanoatlantiruvchi to'g'ri burchakli \(ABC\) uchburchak yasang.

1.5. \(AB\) kesmada \(M\) nuqta tanlangan. \(AB\) kesmaning bir tomonida yotuvchi \(AMCD\) va \(MBEF\) kvadratlarga tashqi chizilgan aylanalarning markazlari mos ravishda \(P\) va \(Q\) hamda bu aylanalar kesishgan nuqtalar \(M\) va \(N\) bo’lsin.
a) \(AF\) va \(BC\) to'g'ri chiziqlar \(N\) nuqtada kesishishini isbotlang.
b) \(M\) nuqtaning qanday joylashganidan qat‘iy nazar, barcha \(MN\) to’g’ri chiziqlar umumiy nuqtaga ega bo’lishini isbotlang.
c) \(M\) o'zgarganda \(PQ\) kesmalar o’rtalarining geometrik o’rnini aniqlang.

1.6. O’zaro parallel bo’lmagan \(\alpha\) va \(\beta\) tekisliklardan mos ravishda \(A\) va \(C\) nuqtalar tanlandi. Ular tekisliklar kesishadigan \(p\) to'g'ri chiziqda yotmaydi. Shunday \(B\in \alpha\) va \(D\in \beta\) nuqtalarni quringki, natijada \(A, B, C, D\) nuqtalar aylanaga tashqi chizilgan \(ABCD\) teng yonli trapetsiyaning \((AB\| CD)\) uchlarini tashkil etsin.