Tornli masalasi.

O'simliklarda barglarning joylashuvi fillotaksis deb atalib, biologiyaning qiziqarli masalalaridan biridir. Tabiatda spiral tipidagi fillotaksis eng ko’p uchraydi. Unda barglar o’simlikning asosiy o’qi atrofida spiralsimon holatda joylashadi. Sprial fillotaksisli o’simliklarning aksariyatida divergensiya burchagi (ketma-ket joylashgan barglar orasidagi burchak) taxminan Fibonachchi burchagiga (137.51) teng bo’ladi.
1975 yilda Dj. G.M.Tornli Fibonachchi burchagini tushuntirish uchun quyidagi farazlarga asoslangan spiral fillotaksisning modelini taklif qilgan:

1. Barcha yangi primordiumlar r o’simlikda apikal meristemaning \(r=0\) vertikal o’qidan gorizontal holatda paydo bo’lishni boshlaydi. Bu Yerda apikal to’qima primordiumlarlarning paydo bo’lishiga kompetentligiga qarab xarakterlanadi;
2. Polyar koordinatalar sistemasi \((r, \theta)\) orqali gorizontal tekislikka o’tkazilgan barcha burchak va masofalar \(r=0\) vertikal o’qi atrofida aylanishga nisbatan simmetrik va apeks formasidagi chetlashishlarni hisobga olinmaydi;
3. Har bir primordium markazi koordinata boshidaa bo’lgan, r radiusli, \(\gamma v\) tezlik bilan tarqoqlanuvchi nuqtali morfogen manbasi kabi harakatlanadi. Bu yerda \(\gamma=const>0, \ v=v(x,t)\) esa t vaqtdagi \(x= r\theta\) nuqtadagi morfogen konsentratsiyasi, aylanadagi diffusiya o’zgarmas \(a^2\)diffusiya koeffitsiyenti bilan yuz beradi;
4. Birinchi primordium \((r, \theta)\) nuqtada joylashgan va \(S_0=S(t)\) morfogen konsentratsiyasining manbasi hisoblanadi;

Bu farazlar asosida ixtiyoriy \(x \in (0,l), \ l=2 \pi r\) nuqtadagi v morfogen konsentratsiyasini quyidagi diffuziya tenglamasi bilan ifodalasa bo’ladi:

\(v_t=a^2v_{xx}-\gamma v\)                                                           (1)

Shartlarga ko’ra \(x=0\) morfogen aylana bo’ylab ikki yo’nalishda tarqoqlanadi - yarmi musbat yo’nalishda, qolgan yarmi qarama-qarshi yo’nalishda. v gradient \(x=0\) nuqtada birinchi tur uzilishga ega, lekin v funksiya ixtiyoriy \(x \in [0, l], \ t \geq 0\) da uzluksiz. Shu sababdan v funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirishi zarur:

\(-a^2 \lim \limits_{x \rightarrow +0}v_x==\frac{1}{2}S_0(t), \ 0 <t <T\)                              (2)

\(v(0,t)=v(l,t), \ 0 \leq t \leq T\)                                          (3)

bu yerda T - rejalangan vaqt.

(1) tenglamaga quyidagi boshlang’ich shartni qo’shamiz:

\(v(x,0)=\varphi(x), \ 0 \leq x \leq l\)                                   (4)

Bu yerda φ(x) funksiya t=0  boshlang’ich momentdagi morfogen konsentratsiyasi.

Shunday qilib biz spiral fillotaksisning matematik modeli ((1) tenglamaning (2)-(4) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish)ni oldik.

Demak, (1)-(4) nolokal masala Tornli masalasi deb ataladi va u spiral fillotaksis (o’simliklarda barglarning spiralsimon joylashuvi) ning matematik modeli hisoblanadi.

Tayyorladi: f.-m.f.d. Erkin Karimov