Ishonchli qurilmalarning ishlash vaqtining taqsimoti
 

 Ma'lumki, har qanday qurilmalar vaqt o'tishi bilan qachondir ishdan chiqadi. Misol tariqasida elektr chirog'ini oladigan bo'lsak, uni  bir Mancha muddat ishlagandan keyin ishdan chiqib qolishini kuzatishimiz mumkin. Lekin uni qachon ishdan chiqishini aniq ayta olmaymiz. Shuning uchun uning ishlash vaqti tasodifiy miqdor bo'ladi. Biz ishonchli (kafolatlangan) qurilmaning ishlash vaqti taqsimotini o'rganamiz.

  Biror ishonchli qurilmaning ishlash vaqtini \(\xi\) tasodifiy miqdor bilan belgilaylik. U manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qilishi ravshan. Qurilmaning ishlash vaqti \(\xi\) ning taqsimoti qanday bo'lishini aniqlaymiz.

 Faraz qilaylik, qurilma biror \(t> 0\) vaqtgacha ishdan chiqmaganligi ma'lum bo'lsa, uning  \(t+\Delta t\) vaqtgacha ishdan chiqish ehtimoli \(\Delta t\) ga nisbatan chiziqli bo'lsin, ya'ni
 

\(P(\xi\leq t+\Delta t/\xi>t)=\lambda\Delta t+o(\Delta t)\)                                              (1)

 ko'rinishda bo'lsin. Bunda \(\lambda>0\) bo'lishini talab qilish tabiiy, chunki biror hodisaning ehtimolligi manfiy qiymat qabul qilmaydi. Qurilma ishonchli bo'lgani  uchun (1) shartni bajarilishini talab qilish asosli, chunki  \(\Delta t\) juda kichik vaqt deb qarasak, t vaqtda ishlab turgan  ishonchli qurilmaning \((t, t+\Delta t]\) vaqt oralig'ida ishdan chiqish ehtimoli ham juda kichik bo'lishi tabiiy.

Endi \(Q(t)\) bilan bilan qurilmaning ishlash vaqti $t$ dan katta bo'lish  ehtimolini belgilaylik, ya'ni \(Q(t)=P(\xi>t)\).

Agar \(\xi>t+\Delta t\) bo'lsa, u holda \(\xi>t\) bo'lishi ravshan. Bundan \(A=\{\xi>t+\Delta t\}\) tasodifiy hodisa \(B=\{\xi>t\}\) tasodifiy hodisani ergashtirishi kelib chiqadi \((A\subset B)\). Ehtimollar nazariyasi kursidan bizga ma'lumki, bu hodisalar uchun  AB=A va P(AB)=P(A) tengliklar o'rinli. Bundan

\(Q(t+\Delta t)=P(\xi>t+\Delta t)=P(\xi>t+\Delta t,\,\xi>t).\)
 

A va B hodisalar uchun shartli ehtimollik formulasi \(P(AB)=P(B)P(A/ B)\), teskari hodisaning ehtimolligi formulasi \(P(\bar{A})=1-P(A)\) va (1) farazdan foydalanib quyidagi tengliklarni olamiz:

\(\begin{aligned} Q(t+\Delta t)&=P(\xi>t+\Delta t,\,\xi>t)\\  &=P(\xi>t)P(\xi>t+\Delta t/ \xi>t)\\  &=P(\xi>t)\left(1-P(\xi\leq t+\Delta t/ \xi>t)\right)\\  &=Q(t)(1-\lambda\Delta t+o(\Delta t)) \end{aligned}\)

Bundan ko'rish qiyin emaski

\(\frac{Q(t+\Delta t)- Q(t)}{\Delta t }=-\lambda Q(t)+ Q(t)\frac{o(\Delta t)}{\Delta t}.\)
 

Agar \(\Delta t\to 0\)  desak, u holda funksiya hosilasining ta'rifiga ko'ra 
\(\frac{dQ(t)}{dt}=-\lambda Q(t)\)
differensial tenglamaga ega bo'lamiz. Bu tenglamani yechib, quyidagi

\(Q(t)=C e^{-\lambda t}\)                                           (2)

umumiy yechimni olamiz.
Endi С koeffetsientni topamiz.

Farazimizga ko'ra t=0 da \(Q(0)=P(\xi>0)=1\) va (2) munosabatdan Q(0)=C. Demak C=1 ekan. Shunday qilib, Q(t) funksiya quyidagi
\(Q(t)=e^{-\lambda t}\)
ko'rinishga ega ekan.
Demak, agar (1) shart bajarilsa, u holda qurilma ishlash vaqtining taqsimoti
\(P(\xi\leq t)=1-Q(t)=\left\{                     \begin{array}{ll}                       1-e^{-\lambda t}, & \hbox{agar $t\geq 0$;} \\                       0, & \hbox{aks holda,}                     \end{array}                   \right.\)
ya'ni \(\xi\) tasodifiy miqdor ko'rsatkichli (eksponensial) taqsimotga ega ekan.

Agar qurilmaning ishlash vaqti taqsimoti ko'rsatkichli taqsimot bo'lsa, u holda uning uchun (1) shart bajarilishini tekshirib ko'rish qiyin emas. Ko'rsatkichli taqsimot uchun qurilmaning qolgan vaqt davomida ham xizmat qilish ehtimolligi yangi (ishlamagan) qurilmaning xizmat qilish muddati taqsimoti bilan bir xil bo'ladi.

Ko'p tadbiqiy masalalarda ayniqsa bir nechta ishonchli detallardan tashkil topgan murakkab qurilmalarning ishida $\xi$ tasodifiy miqdorning
taqsimotini ko'rsatkichli taqsimot deb hisoblash mumkin bo'ladi. Bunday qurilmalarga elektron hisoblash qurilmalari misol bo'la oladi.

Xulosa. Ishonchli (kafolatlangan) qurilma uchun (1) shart bajarilsa, u holda qurilmaning ishlash vaqti taqsimoti eksponensial taqsimot bo'ladi. Va aksincha, agar qurilmaning ishlash vaqti taqsimoti eksponensial taqsimot bo'lsa, u holda uning uchun (1) shart bajariladi.

Tayyorlandi: Matematika instituti tayanch dokoranti S.O.Sharipov, kichik ilmiy xodimi A.Aliyev.