DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING IQTISODIYOTDAGI TADBIQLARI

1-Masala. Aytaylik, firmaning mahsulot ishlab chiqarishdagi jami xarajatlari funksiyasi quyidagicha bo’lsin:

\(TC=50+0,4q^2,\)

bu yerda q- mahsulot miqdori. Mahsulotga bo’lgan talabga ko’ra narx funksiyasi esa

\(p=360-2,1q\)

ko’rinishda bo’lib,  p- mahsulot narxi.  Boshqa ta’sir qiluvchi faktorlar yo’q deb hisoblab, muvozanat narx holatida firma foydasi maksimalga erishadi deb olamiz. Agar hukumat har bir ishlab chiqarilgan mahsulotga soliq joriy etsa, firmaning foydasi maksimal bo’lishi uchun mahsulot narxi qanday o’zgaradi?

 

Yechim:

Agar firma davlatga har bir mahsulot uchun t miqdorda soliq to’lasa, unda q mahsulot uchun tq miqdorda soliq to’laydi. Demak, jami harajat funksiyasi

\(TC=50+0,4q^2+tq\)

ko’rinishda bo’ladi. Firmaning yalpi daromadi esa

\(TR=pq=360q-2,1q^2.\)

Firmaning maksimallashtiriladigan sof daromadi

\(F=TR-TC=360q-2,1q^2-(50+0,4q^2+tq)=-2,5q^2+(360-t)q-50\)

funksiya orqali ifodalanadi. Sof foydani maksimallashtirishning birinchi shartini olish uchun yuqoridagi funksiyadan q bo’yicha bir marta hosila olamiz va 0 ga tenglaymiz:

\(\frac{\partial F}{\partial q}=360-5q-t=0.\)

Ikkinchi shart esa ikkinchi tartibli hosila bilan bog’liq. \(\frac{\partial ^2F}{\partial q^2}=-5<0,\) demak firmaning sof foydasining maksimallashtirish shartlari bajarildi. Endi yuqoridagi tenglikdan maksimal sof foyda uchun qancha mahsulot ishlab chiqarishning qo’yilgan soliq miqdoriga bog’liqligi quyidagicha bo’ladi:

\(q=72-0,2t.\)

Bu funksiyadan bir marta t bo’yicha hosila olsak \(\frac{dq}{dt}=-0,2\) ni hosil qilamiz. Bu esa mahsulotning har biriga t miqdorda soliq qo’yilsa maksimal foyda olish uchun mahsulot miqdori 0,2 birlikka kamayishini ko’rsatadi. Endi qo’shilgan soliq narxga qanday ta’sir ko’rsatishsini bilish uchun yuqoridagi ifodani narx funksiyasiga qo’yamiz:

\(p=360-2,1(72-0,2t)=4,2t+208,8.\)

Bu ifodadan bir marta hosila olib \(\frac{dp}{dt}=0,42\) ni olamiz. Bu esa firmaning maksimal foyda olishi mumkin bo’lgan holatdagi mahsulot narxi har bir mahsulotga 1 dollar soliq solinsa, 0.42 dollar ga qimmatlashishini ko’rsatadi.

 

2-Masala. Bankdan 100 ming $ kredit yiliga 15% stavkasida 5 yilga olindi. Agar qo’shiladigan foizlar uzluksiz tarzda qo’shilib borilsa, jami qancha miqdorda pul bankka to’lanishi kerak bo’ladi? Agar foizlar yilda bir qo’shilsachi?

            Yechim:

Buning uchun avvalo a'=0.15 a differensial tenglamani yechishimiz kerak bo’ladi. Sababi hosilaning ta’rifiga ko’ra \(a'(t)=\lim \limits_{\triangle t \rightarrow 0 }\frac{a(t+\triangle t)-a(t)}{\triangle t}\) va bu uzluksiz o’sishdagi ∆t→0 dagi  pul miqdorini beradi. Bu yerda a(t) ifoda t vaqtda bankka to’lanishi kerak bo’lgan pul miqdori. Boshqa tomondan esa pulning miqdori uzluksiz 15% o’sgani  uchun o’sadigan pul miqdori \(0,15 a\) ga teng. Bu yerda t yillarda o’zgaradi, ya’ni \(a(1)\) bir yildan keying pul miqdorini bersa, \(a (\frac{1}{12})\) esa 1 oydan keying pul miqdorini beradi. Masala shartidan ma’lumki, \(a(0)=100000\). Demak biz quyidagi Koshi masalasini yechishimiz kerak:

\(a'(t)-0,15a(t)=0, a(0)=10^5.\) 

Bu masalaning yechimi esa \(a(t)=10^5 e^{0,15t}\) dan iborat bo’ladi. Demak,

\(a(5)=10^5 e^{0,15 \cdot 5}\approx211700$\)

Agar foizlar yil oxirida qo’shiladigan bo’lsa, bankka to’lanadigan pulni hisoblash uchun murakkab foiz formulasidan foydalanish kifoya:

\(10^5(1+0,15)^5 \approx201135,7$\)

 

f.-m.f.d. Erkin Karimov

Matematika instituti katta ilmiy xodimi