MATEMATIKA HAMMA ANIQ FANLARGA ASOS. BU FANNI YAXSHI BILGAN BOLA AQLLI, KENG TAFAKKURLI BO‘LIB O‘SADI, ISTALGAN SOHADA MUVAFFAQIYATLI ISHLAB KETADI.
KIM MATEMATIKANI BILMASA, HAQIQATNI BILMAYDI. KIM UNI TUSHUNMASA ZULMATDA YASHAYDI.
MATEMATIKANING ASOSIY VAZIFASI BIZNI O’RAB TURGAN TARTIBSIZLIKLARDA YASHIRINGAN TARTIBNI TOPISHDAN IBORAT.
Ikkinchi tartibli chiziqlarning tadbiqlari
A.S.Sharipov, J.O.Aslonov
Kо‘pchilik matematika- qiyin, abstrakt, zerikarli, foydasiz va real hayotdan ancha uzoq deb о‘ylaydi. Ushbu mavzuni о‘rganish jarayonida talabalar geometriya matematikaning inson hayotidagi tayin amaliy masalalarni yechish zarurati tufayli paydo bо‘lganiga ishonch hosil qilishadi.
Qadimgi geometr olimlar turli xil yassi chiziqlarni о‘rganishgan. Ular alohida e’tiborini konik kesimlar ellips, parabola va giperbolalarga qaratishgan. Bu uchta chiziq tо‘g‘ri aylanma konusni uchidan о‘tmaydigan va yasovchisiga nisbatan hosil qilgan burchaklariga qarab, tekislik bilan kesishdan hosil bо‘ladi.
Grek olimlarida konus kesimlarga qiziqish mashhur masalalarni yechish davrida hosil bо‘ldi: kubni ikkilantirish, (hajmi berilgan kubning hajmidan ikki baravar katta hajmga ega bо‘lgan kubni yasash), doirani kvadraturalash (yuzasi berilgan doiraning yuziga teng bо‘lgan kvadratni yasash) va burchak triseksiyasi (berilgan burchakni teng uchga bо‘lish) masalalarini yechishga xarakat qilish natijasida paydo bо‘ldi.
Yuqorida keltirilgan uchta masalani tо‘g‘ri chiziq va aylanalarni yasash (sirkul va chizg‘ich yordamida yasashlar) orqali yechib bо‘lmaydi degan xulosaga kelishdi. Natijada ular chiziqlarning kesishish nuqtalarini topish orqali masalalarni yechishga harakat qilishdi. Eramizdan avvalgi tо‘rtinchi asrda qadimgi grek matematigi Menexm har xil turdagi (о‘tkir burchakli, tо‘g‘ri burchakli, о‘tmas burchakli) konuslarni yasovchisiga perpendikulyar tekislik bilan kesimlarni о‘rgandi. U kubni ikkilantirish tо‘g‘risidagi masalani ikkita parabolani kesishish nuqtalarini topishga olib keldi. Uzoq vaqt konus kesimlar nomlari bо‘lmagan (faqat ularni yasash usuli kо‘rsatilgan. Masalan, ellips – о‘tkir burchakli konusning kesimi). Konus kesimlarining xossalarini Arximed, Yevkrit kabi olimlar о‘rganishgan. Biroq, muhim natijalarga eramizdan avvalgi uchinchi asrda yashagan Apolloniy Pergskiy erishgan. U о‘zining konika deb nomlangan sakkizta kitobida tо‘rt yuzga yaqin teorema qaragan. Apolloniy birinchi marta uchta chiziqni bitta konusning kesimi sifatida hosil qilgan. Hozirgi vaqtdagi ellips, giperbola, parabola nomlarini ham u kiritgan. Ellips, giperbola va parabola sо‘zlari grek tildan olingan bо‘lib, mos ravishda “yetishmaslik” , “ortiqchalik” va “tirkab qо‘yish” ma’nolarini bildiradi.
Ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalarini о‘rganish atrofimizdagi olam sirlarini о‘rganishda alohida о‘ringa ega. Kepler va Nyutonning ilmiy izlanishlaridan ma’lumki, sayyoralar va osmondagi boshqa jismlar orbitalari ellipsdan iborat. Aylanma shakldagi stakandan suv ichmoqchi bо‘lganimizda kо‘z oldimizda suv sathida ellips paydo bо‘ladi, xirurg lampasining elliptik shakldaligi vrachga barcha yorug‘lik nurini bir nuqtaga tо‘plab beradi. Odamlarning eshitishlari tiniq bо‘lishi uchun saroylar, masjidlar va amfiteatrlarning gumbazlarini qurishda ellips va parabolaning shaklidan foydalaniladi. Chunki bu shakldagi qurilgan gumbazlarda akustika yaxshi bо‘ladi. Biror sharpani yaxshiroq eshitish uchun qо‘limizni quloq yoniga olib kelganimizda beixtiyor qо‘limizni uch ulchamli parabola (paraboloid) shakliga olib kelamiz.
Ushbu geometrik masalalarning hayotdagi va fandagi ahamiyati shundan iboratki, bugungi kun qurilishi va arxitekturasi bino va inshootlarning loyihalarini yaratishda muntazam ravishda geometrik shakl va qoidalardan foydalanishga ehtiyoj sezmoqda. Shuningdek, hozirgi kunda yer yuzidagi davlatlarning kо‘pchiligi tomonidan iste’molga kiritilgan Global joylashuv tizimi (GPS) ning ishlash mexanizmi ham geometriya va trigonometriya qonunlariga asoslanadi. Shu bilan birga, insoniyatning maishiy hayotida muhim о‘rin egallaydigan telefoniya, televideniya, aloqa tarmoqlarida hamda qishloq hо‘jaligi, neft va gaz mahsulotlarini qidirishda, suv, yer va havo transportlarida geometrik qonunlarning ahamiyati beqiyosdir.
Ikkinchi tartibli chiziqlar xossalarining о‘rni fizika fanida muhim ahamiyatga ega, ayniqsa ularning optik xossalari fizika va texnikada keng qо‘llaniladi.
Ellips misolida qarab chiqamiz. Chizuvchi M nuqtadan ikkita harakatlanmaydigan \(F_1\) va \(F_2\) nuqtalargacha bo‘lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas bo’lib qoladigan egri chiziqni qaraymiz. Qog’ozga ikki uchni qo’yib, uni tayanchga mahkam bog’laymiz. Agar ipni qog’ozga vertikal qo’yilgan qalam yordamida tortsak, u holda qalamning o‘tkir tig‘i, ya’ni M nuqta egri chiziqni chizadi. Bu egri chiziq ellips deyiladi.
Ellipsni to’liq shaklini chizish uchun ipni tayanchning boshqa tomoniga o’tkazib, yuqoridagidek ipni tortiladi. Shundan so’ng ellipsning 1-yarmi chiziladi. Ravshanki, qalamning o’tkir tig’i M nuqtadan F1 va F2 tayanchgacha bo’lgan masofalar yig’indisi harakat davomida o’zgarmay qoladi. Bu yig’indi ipning uzunligiga teng. Tayanchga teshilgan ikki nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi. Fokus so’zi lotin tilidan tarjima qilinganda “olov” degan ma’noni anglatadi. U ellipsning navbatdagi ajoyib xossasi bilan tavsiflanadi. Agar yaxshi silliqlangan yupqa metallni ellips yoyi bo’yicha egib, bitta fokusga yorug’lik manbaasini qo’ysak, u holda metalldan qaytuvchi yorug’lik nurlari boshqa fokusda to’planadi. Shuning uchun ikkinchi fokusda ham “olov” ko’rinadi.
Agar ellipsning fokuslari ustma – ust tushsa, u aylanadan iborat bo’ladi.
Ellipsning xossalari. 1. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas va 2a ga tengdir.
Bu xossa bevosita xisoblash yordamida \(r_1+r_2=2a\) tenglikni tekshirish bilan isbotlanadi.
2. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalarning mos direktrissalargacha bo’lgan masofalargacha nisbati o’zgarmas va u ellipsning eksentriteti deb ataluvchi e soniga tengdir.
Ellipsning geometrik aniqlanishi. Yuqorida aytilganidek, tekislikda berilgan ikkita nuqtalargacha bo’lgan masofalarning yig’indisi o’zgarmas bo’ladigan nuqtalarning geometrik o’rni ellips bo’ladi.
Tekislikda F1, F2 nuqtalar berilgan. Biz tekislikning nuqtasidan bu nuqtalargacha bo'lgan masofalarni mos ravishda r1, r2 ko’rinishida belgilab \(r_1+r_2=const=2a\) tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rnini aniqlashimiz kerak. Berilgan nuqtalar orasidagi masofani 2c bilan belgilasak, \(r_1+r_2>2c\) tenglikdan a > c munosabat kelib chiqadi. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz. Berilgan F1, F2 nuqtalardan o‘tuvchi to’g’ri chiziqni absissa o’qi sifatida olamiz, unda musbat yo’nalish F1 nuqtadan F2 nunqtaga qarab yo’nalgan bo’ladi. Koordinata boshini F1, F2 nuqtalarning o’rtasiga joylashtirib, ordinata o’qi sifatida absissa o’qiga perpendikulyar ixtiyoriy o’qni olamiz va ellipsning tenglamasi Oxy dekart koordinata sistemasida
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ko’rinishda bo’lishiga ishonch hosil qilamiz. Bunda a – katta yarim o’qning, b – kichik yarim o’qning uzunligidan iborat.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. A. Ya. Narmanov. Analitik geometriya. Toshkent. 2008.
2. Н.Я.Велинкин. Функции в природе и в технике. М.: Просвещение, 1985.