Ikkinchi tartibli chiziqlarning tadbiqlari 
A.S.Sharipov, J.O.Aslonov 

   Kо‘pchilik matematika- qiyin, abstrakt, zerikarli, foydasiz va real hayotdan ancha uzoq deb о‘ylaydi. Ushbu mavzuni о‘rganish jarayonida talabalar geometriya matematikaning inson hayotidagi tayin amaliy masalalarni yechish zarurati tufayli paydo bо‘lganiga ishonch hosil qilishadi.  
   Qadimgi geometr olimlar turli xil yassi chiziqlarni о‘rganishgan. Ular alohida e’tiborini konik kesimlar ellips, parabola va giperbolalarga qaratishgan. Bu uchta chiziq tо‘g‘ri aylanma konusni uchidan о‘tmaydigan va yasovchisiga nisbatan hosil qilgan burchaklariga qarab, tekislik bilan kesishdan hosil bо‘ladi.
   Grek olimlarida konus kesimlarga qiziqish mashhur masalalarni yechish davrida hosil bо‘ldi: kubni ikkilantirish, (hajmi berilgan kubning hajmidan ikki baravar katta hajmga ega bо‘lgan kubni yasash), doirani kvadraturalash (yuzasi berilgan doiraning yuziga teng bо‘lgan kvadratni yasash) va burchak triseksiyasi (berilgan burchakni teng uchga bо‘lish) masalalarini yechishga xarakat qilish natijasida paydo bо‘ldi.
Yuqorida keltirilgan uchta masalani tо‘g‘ri chiziq va aylanalarni yasash (sirkul va chizg‘ich yordamida yasashlar) orqali yechib bо‘lmaydi degan xulosaga kelishdi. Natijada ular chiziqlarning kesishish nuqtalarini topish orqali masalalarni yechishga harakat qilishdi. Eramizdan avvalgi tо‘rtinchi asrda qadimgi grek matematigi Menexm har xil turdagi (о‘tkir burchakli, tо‘g‘ri burchakli, о‘tmas burchakli) konuslarni yasovchisiga perpendikulyar tekislik bilan kesimlarni о‘rgandi. U kubni ikkilantirish tо‘g‘risidagi masalani ikkita parabolani kesishish nuqtalarini topishga olib keldi. Uzoq vaqt konus kesimlar nomlari bо‘lmagan (faqat ularni yasash usuli kо‘rsatilgan. Masalan, ellips – о‘tkir burchakli konusning kesimi). Konus kesimlarining xossalarini Arximed, Yevkrit kabi olimlar о‘rganishgan. Biroq, muhim natijalarga eramizdan avvalgi uchinchi asrda yashagan Apolloniy Pergskiy erishgan. U о‘zining konika deb nomlangan sakkizta kitobida tо‘rt yuzga yaqin teorema qaragan. Apolloniy birinchi marta uchta chiziqni bitta konusning kesimi sifatida hosil qilgan. Hozirgi vaqtdagi ellips, giperbola, parabola nomlarini ham u kiritgan.  Ellips, giperbola va parabola sо‘zlari grek tildan olingan bо‘lib, mos ravishda “yetishmaslik” , “ortiqchalik” va “tirkab qо‘yish” ma’nolarini bildiradi.
   

   Ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalarini о‘rganish atrofimizdagi olam sirlarini о‘rganishda alohida о‘ringa ega.  Kepler va Nyutonning ilmiy izlanishlaridan ma’lumki, sayyoralar va osmondagi boshqa jismlar orbitalari ellipsdan iborat.  Aylanma shakldagi stakandan suv ichmoqchi bо‘lganimizda kо‘z oldimizda suv sathida ellips paydo bо‘ladi, xirurg lampasining elliptik shakldaligi vrachga barcha yorug‘lik nurini bir nuqtaga tо‘plab beradi. Odamlarning eshitishlari tiniq bо‘lishi uchun saroylar, masjidlar va amfiteatrlarning gumbazlarini qurishda  ellips va parabolaning shaklidan foydalaniladi. Chunki bu shakldagi qurilgan gumbazlarda akustika yaxshi bо‘ladi. Biror sharpani yaxshiroq eshitish uchun qо‘limizni quloq yoniga olib kelganimizda beixtiyor qо‘limizni uch ulchamli parabola (paraboloid) shakliga olib kelamiz.   

   Ushbu geometrik masalalarning hayotdagi va fandagi ahamiyati shundan iboratki, bugungi kun qurilishi va arxitekturasi bino va inshootlarning loyihalarini yaratishda muntazam ravishda geometrik shakl va qoidalardan foydalanishga ehtiyoj sezmoqda. Shuningdek, hozirgi kunda yer yuzidagi davlatlarning kо‘pchiligi tomonidan iste’molga kiritilgan Global joylashuv tizimi (GPS) ning ishlash mexanizmi ham geometriya va trigonometriya qonunlariga asoslanadi. Shu bilan birga, insoniyatning maishiy hayotida muhim о‘rin egallaydigan telefoniya, televideniya, aloqa tarmoqlarida hamda qishloq hо‘jaligi, neft va gaz mahsulotlarini qidirishda, suv, yer va havo transportlarida geometrik qonunlarning ahamiyati beqiyosdir.
Ikkinchi tartibli chiziqlar xossalarining о‘rni fizika fanida muhim ahamiyatga ega, ayniqsa ularning optik xossalari fizika va texnikada keng qо‘llaniladi.

 

Ellips misolida qarab chiqamiz. Chizuvchi  M  nuqtadan  ikkita  harakatlanmaydigan  \(F_1\) va \(F_2\) nuqtalargacha  bo‘lgan masofalar  yig’indisi  o’zgarmas bo’lib  qoladigan  egri chiziqni  qaraymiz.  Qog’ozga  ikki uchni qo’yib, uni  tayanchga  mahkam  bog’laymiz.  Agar   ipni   qog’ozga  vertikal  qo’yilgan  qalam  yordamida  tortsak, u holda qalamning  o‘tkir  tig‘i,  ya’ni  M  nuqta  egri  chiziqni chizadi.  Bu  egri chiziq  ellips deyiladi.

Ellipsni  to’liq  shaklini  chizish uchun  ipni  tayanchning  boshqa  tomoniga  o’tkazib,  yuqoridagidek ipni tortiladi.  Shundan  so’ng  ellipsning 1-yarmi chiziladi.  Ravshanki,  qalamning  o’tkir  tig’i  M  nuqtadan  F1  va  F2  tayanchgacha  bo’lgan  masofalar  yig’indisi  harakat  davomida  o’zgarmay  qoladi. Bu  yig’indi  ipning  uzunligiga  teng.  Tayanchga  teshilgan  ikki  nuqtalar  ellipsning  fokuslari  deyiladi.   Fokus  so’zi  lotin  tilidan  tarjima  qilinganda  “olov”  degan  ma’noni  anglatadi. U  ellipsning  navbatdagi ajoyib  xossasi bilan  tavsiflanadi.  Agar  yaxshi  silliqlangan  yupqa metallni  ellips  yoyi  bo’yicha  egib,  bitta  fokusga  yorug’lik  manbaasini  qo’ysak, u holda  metalldan  qaytuvchi  yorug’lik  nurlari  boshqa  fokusda  to’planadi.  Shuning  uchun  ikkinchi fokusda ham “olov”  ko’rinadi. 

Agar  ellipsning  fokuslari  ustma – ust  tushsa,  u  aylanadan  iborat  bo’ladi.

Ellipsning  xossalari. 1. Ellipsning  ixtiyoriy  nuqtasidan  uning  fokuslarigacha  bo’lgan  masofalar  yig’indisi o’zgarmas  va  2a   ga  tengdir.

Bu  xossa  bevosita  xisoblash  yordamida \(r_1+r_2=2a\)   tenglikni  tekshirish  bilan  isbotlanadi.

2.  Ellipsning ixtiyoriy  nuqtasidan  uning  fokuslarigacha  bo’lgan masofalarning  mos direktrissalargacha  bo’lgan  masofalargacha nisbati  o’zgarmas  va u ellipsning eksentriteti deb ataluvchi e  soniga  tengdir.

Ellipsning  geometrik  aniqlanishi. Yuqorida aytilganidek, tekislikda  berilgan  ikkita  nuqtalargacha  bo’lgan masofalarning   yig’indisi  o’zgarmas  bo’ladigan  nuqtalarning geometrik  o’rni  ellips  bo’ladi.

Tekislikda  F1,  F2  nuqtalar  berilgan.  Biz  tekislikning  nuqtasidan  bu  nuqtalargacha  bo'lgan  masofalarni mos  ravishda  r1, r2  ko’rinishida  belgilab  \(r_1+r_2=const=2a\)   tenglikni  qanoatlantiruvchi  nuqtalarning  geometrik  o’rnini aniqlashimiz  kerak.  Berilgan nuqtalar orasidagi  masofani 2c  bilan  belgilasak,  \(r_1+r_2>2c\)  tenglikdan  a > c  munosabat  kelib chiqadi.  Tekislikda  dekart  koordinatalar  sistemasini  quyidagicha  kiritamiz.  Berilgan  F1, F2  nuqtalardan  otuvchi  to’g’ri  chiziqni  absissa  o’qi  sifatida olamiz, unda  musbat  yo’nalish  F1 nuqtadan  F2  nunqtaga qarab yo’nalgan bo’ladi.  Koordinata  boshini F1, F2  nuqtalarning  o’rtasiga joylashtirib,  ordinata  o’qi  sifatida absissa  o’qiga  perpendikulyar   ixtiyoriy  o’qni  olamiz va ellipsning tenglamasi  Oxy  dekart  koordinata  sistemasida  

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

ko’rinishda  bo’lishiga ishonch hosil qilamiz.  Bunda  a – katta  yarim o’qning,  b – kichik  yarim o’qning uzunligidan  iborat.

Foydalanilgan  adabiyotlar

1. A. Ya. Narmanov.  Analitik geometriya. Toshkent. 2008.

2.  Н.Я.Велинкин. Функции в природе и в технике. М.: Просвещение, 1985.